«La vida vale la pena vivirla por dos motivos solamente: el hacer Matemáticas, y el enseñarlas» (S.D. Poisson, 1781-1840)

«Las Matemáticas son el alfabeto con el cual Dios ha escrito el Universo» (G. Galilei, 1564-1642)  

«Para aquellos que no conocen las matemáticas, es difícil sentir la belleza, la profunda belleza de la naturaleza... Si quieres aprender sobre la naturaleza, apreciar la naturaleza, es necesario aprender el lenguaje en el que habla» (Richard Phillips Feynman, 1918-1988)

«La frase más excitante que se puede oir en ciencia, la que anuncia nuevos descubrimientos, no es "¡Eureka!" (¡Lo encontré!), sino "Es extraño..."» (Isaac Asimov, 1920-1996)

 

 

 

I.   ORIGEN DE LOS NÚMEROS. SISTEMAS DE NUMERACIÓN

-   Las Matemáticas empezaron con los números, es decir, con la necesidad que el hombre tuvo de contar objetos cotidianos. Sin embargo, como veremos más adelante, las Matemáticas de hoy tratan más bien de estructuras, pautas y formas.

-   Se han encontrado huesos de 30 000 años de antigüedad con marcas de cuenta. De hecho, "cálculo" proviene del latín calculis, piedra, lo cual indica que el hombre primitivo utilizaba piedras para contar. Ahora bien, cuando decimos, por ejemplo, "tres", nos referimos tanto a tres ovejas como a tres piedras: "tres" es un concepto abstracto, que sólo requiere una palabra ("tres") o signo (el 3).

- Hacia el 3 000 a.C. los babilonios, utilizando su escritura cuneiforme (denominada así por sus signos en forma de cuña), empleaban un sistema de numeración posicional sexagesimal, es decir, de base 60, del cual se han encontrado muestras en tablillas de cera. De él queda como vestigio nuestros 60 seg = 1 min, o 60 min = 1 h, y nuestro sistema de ángulos sexagesimal.

-   Con este sistema sexagesimal, los babilonios  representaban números decimales, lo cual les permitía tratar asuntos como contabilidad, transacciones comerciales, medida y división de tierras, testamentos, etc. además de dominar la astronomía: estudio del movimiento de planetas, predicción de eclipses, etc. Los matemáticos babilonios ya sabían resolver algebraicamente la ecuación de 2º grado, manejaban tablas de multiplicar, de inversos –para las divisiones-, de cuadrados, cubos, y de raíces cuadradas y cúbicas.

-   Unos pocos siglos después -hacia el 2700 a.C., en adelante-, los logros matemáticos de los egipcios, en comparación, fueron más modestos. Utilizaban para representar números un sistema jeroglífico de signos en base 10, que contemplaba signos para las unidades, decenas, centenas, etc.; por ejemplo, para representar 23.246 escribían:

 

 

 

También disponían de un sistema para las fracciones, aunque muy poco práctico. Aun así, en el Museo Británico de Londres puede admirarse el Papiro Rhind (hacia 1650 a.C.) (ver fragmento en figura dcha.), que contiene 87 problemas sobre resolución de ecuaciones, aritmética, geometría, etc.

-   Por su parte, los matemáticos chinos de épocas pasadas ya resolvían sistemas de 3 ecuaciones lineales y 3 incógnitas, como recoge la recopilación Nueve capítulos sobre las artes matemáticas (Jiu zhang suang shu), redactado entre el 200 a.C. y el 200 d.C.

El siglo XIII coincide con la Edad de Oro de la Matemática china. Lichich es autor de un tratado que contiene 170 problemas sobre círculos circunscritos e inscritos en un triángulo. Chiu-Sao resolvía ecuaciones de 2º grado, cúbicas y cuadráticas por un método muy similar al que hoy denominamos «Método de Horner», y calculaba raíces cuadradas. Shih-Chieh sumaba series infinitas y utilizaba el que conocemos como triángulo de Pascal hasta la octava potencia. Pero, después de este período, la Matemática china se estanca, y no podrá equipararse a la occidental.

-  Los antiguos griegos utilizaron a lo largo de los siglos diferentes sistemas numéricos no posicionales engorrosísimos para hacer cálculos –el sistema ático, el más antiguo, decimal, y posteriormente el jónico, también decimal, de signos alfabéticos-, lo cual supuso un cierto freno a sus avances. Lo mismo podemos decir del conocido sistema de numeración decimal romano.

-   Los indios utilizaban un utilísimo sistema posicional desde el 400 d.C. y empleaban el cero desde al menos el s. IX. Los matemáticos indios medievales eran sobre todo astrónomos y dominaban la aritmética y divisibilidad, la resolución de ecuaciones de 1^er y 2^º grado, trigonometría, combinatoria, etc. Las dos contribuciones más relevantes de las matemáticas hindúes son el sistema decimal posicional y la introducción del equivalente a la actual función seno.

Aryabhata (s. VI) dio reglas para extraer raíces cuadradas y cúbicas de enteros, fórmulas para el cálculo de áreas, y estudió las progresiones aritméticas y geométricas, y la trigonometría esférica.

Brahmagupta (s. VII) sistematiza la aritmética de los números positivos y negativos, y estudia las ecuaciones diofánticas y el cálculo de áreas.

El matemático más importante del período medieval es Bhaskara (s. XII), el cual afirma que un número (distinto de cero) dividido por cero es infinito, y estudia ecuaciones lineales y cuadráticas, medidas de áreas, progresiones aritméticas y geométricas, raíces y ternas pitagóricas. Después de su muerte, y durante siglos, no aparecerán matemáticos hindúes relevantes.

-   El fructífero sistema de numeración indio de 9 dígitos (sin el cero) fue adoptado por los árabes (si bien sus nueve símbolos eran bastante diferentes a los actuales) y de ahí pasó a Europa¹, consolidándose en parte gracias al Liber Abbaci publicado en 1202 por el italiano Leonardo de Pisa (Fibonacci), el cual también inventa la notación actual para fracciones, describe métodos  y problemasalgebraicos,recomienda el uso de los numerales indo-arábigos, y plantea su famosa sucesión².

-   El paso del sistema romano al indo-arábigo fue lento, entre otros motivos debido a que el cálculo mediante el ábaco (figura izda.) estaba muy extendido. A partir del siglo XII y hasta el XVI hubo una gran competencia entre los abacistas –partidarios del cálculo mediante el ábaco- y los algoristas –partidarios del cálculo mediante pluma y papel-, que acabó con el triunfo definitivo de los segundos a partir del siglo XVII.

-   En la 2ª mitad del siglo XVI el holandés Simon Stevin inventó la base de nuestro sistema actual para representar decimales, con el fin de evitar los engorrosos cálculos con fracciones: por ejemplo, 5,713 lo escribía así:

Con el tiempo, se prescindió de los símbolos

para indicar la posición, y el derivó en la coma actual, la cual, por cierto, fue ideada por el matemático y teólogo escocés John Neper (2ª mitad s. XVI).

-   Neper fue también el inventor en 1614 de los logaritmos –fue el primero en utilizar esa palabra- para simplificar tediosos cálculos de productos, pero empleaba³ una base incómoda, en concreto 10⁷. A su muerte, su contemporáneo Henry Briggs (s. XVI-XVII), catedrático de Oxford, perfeccionó sus ideas, decantándose por el empleo de la base 10. En 1617 publicó las primeras tablas de logaritmos.

-   La Asamblea Nacional francesa aprobó en 1791 el sistema métrico decimal, que posteriormente han ido adoptando la mayoría de los países.

 

 

NOTAS:

1  El papa Silvestre II (2ª mitad siglo X), que vivió en España, y escribía libros de Aritmética y Geometría, fue uno de los pioneros en introducir los numerales indo-arábigos en Italia. En 1092 el rabino toledano Abraham Besnera explicaba el sistema de numeración decimal actual.

2 La sucesión de Fibonacci tiene por término general a_n=a_n-1+a_n-2, donde n es mayor o igual que 3 , por lo que sus términos son 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21... Está muy presente en la naturaleza.

3  Los logaritmos neperianos –que utilizan la base e, siendo e ≅ 2,7182818… un número irracional- reciben tal nombre en honor de Neper, si bien él no llegó a utilizar dicha base. Fueron en realidad introducidos por John Speidell en 1619. Neper también popularizó su curiosa máquina de multiplicar, llamada «Rodillos de Neper».

 

 

II. GEOMETRÍA

-  El término Geometría procede del griego: geo-metría, es decir, medida de la Tierra.  

-  Tales de Mileto (1ª mitad s. VI a.C.) era comerciante, y en sus viajes a Asia Menor tomó contacto con los conocimientos sobre Astronomía y Matemáticas de los egipcios, que luego introdujo en Grecia. Se dedicó a las Matemáticas por diversión, y es probablemente el primer matemático que trazó el rumbo para el desarrollo de la geometría en términos abstractos.

-   Parece ser que Pitágoras (2ª mitad s. VI a.C) no demostró su famoso teorema; también ha pasado a la posteridad por la secta que fundó, la cual sostenía que el universo estaba basado en números. Curiosamente, uno de sus seguidores, Hipaso de Metaponto, fue arrojado por la borda de un barco por descubrir la irracionalidad de √2. Precisamente este descubrimiento tambaleó el propio orden pitagórico, aunque, una vez superada la conmoción, los griegos comenzaron a acostumbrarse a la idea de que también los irracionales debían ser números.

-   La teoría griega sobre los irracionales fue concebida por Eudoxo (maestro de Euclides) circa 370 a.C. Los griegos intuían que π  era irracional¹, pero ello no pudo probarse hasta el siglo XVIII, debido al suizo-alemán Lambert. Eudoxo es también el inventor del método de exhaución, equivalente al actual cálculo integral, para hallar áreas de figuras planas.

-   Euclides de Alejandría (1ª mitad s. III a.C.), geómetra, es el autor de los célebres Elementos, que destacan por su estructura lógica axiomatizada a base de rigurosas demostraciones, y que tuvieron vigencia durante casi dos mil años. De ello hablaremos en el capítulo X.

-   Arquímedes de Siracusa (2ª mitad s. III a.C.) (figura dcha.), el másgrande de losmatemáticos de la antigüedad, utilizó el método de exhaución –el cual tiene el inconveniente de tener que saber a priori lo que se va a probar- para las fórmulas del área y volumen de la esfera. Además, también era ingeniero: ideó catapultas usando su ley de la palanca, inventó el tornillo hidráulico, empleó grandes espejos para quemar a una flota romana enemiga, etc.

-   Hoy día está probado que es imposible con regla y compás la trisección del ángulo, la duplicación del cubo y la cuadratura del círculo, pero los griegos buscaron incansablemente su hipotética solución.

-   Apolonio de Perga (2ª mitad s. III a.C.), discípulo de Euclides, descubrió y estudió con detalle las secciones cónicas.

-   En 250 a.C. Eratóstenes calculó con gran precisión el radio de la tierra.

-   Los antiguos griegos desarrollaron la Trigonometría debido, sobre todo, a la Astronomía. Hiparco de Nicea (s. II a.C.) fue el primero en construir tablas trigonométricas, aplicándolas al estudio de la bóveda celeste.

-   Menelao de Alejandría, hacia el año 100, sienta las bases del estudio de la geometría esférica.

-   Ptolomeo de Alejandría, responsable del modelo de sistema solar geocéntrico, que estaría vigente durante muchos siglos, escribe hacia el año 150 el Almagesto, el libro más importante de Trigonometría de la antigüedad. En él se encuentran, entre otras, las fórmulas del seno de la suma y de la resta de dos ángulos, así como la del seno del ángulo mitad.

-   Herón (s. I) demuestra la fórmula que lleva su nombre para hallar el área de un triángulo:

siendo s el semiperímetro y a,b,c los lados.

-   También en esta disciplina, durante toda la Edad Media no se produce ningún avance sustancial. Como curiosidad, Roberto de Chester (s. XII) es el responsable de la actual palabra “seno”, al traducir incorrectamente del árabe un cierto término, que él entendió como “sinus” (bahía o ensenada, en latín).

-   El alemán Johann Müller (2ª mitad s. XV), más conocido como “Regiomontano”, expone los conceptos fundamentales sobre magnitudes y razones, resuelve problemas de triángulos e incluso aborda la trigonometría esférica.

-   El polaco Copérnico (1ª mitad s. XVI), al implantar su sistema heliocéntrico –como veremos en el capítulo VI-, demostró un gran dominio de la Trigonometría. Su alumno el alemán Rheticus (s. XVI) combinó los avances anteriores para construir detalladas tablas de funciones trigonométricas.

-   Como curiosidad, la palabra Trigonometría la introdujo Pitiscus en 1595.

-   El alemán Johannes Werner (s. XV-XVI) empleaba varias identidades trigonométricas para transformar sumas trigonométricas en productos, como por ejemplo

Estas fórmulas también fueron descubiertas independientemente por el francés Vieta (s. XVI)

- El escocés Neper (2ª mitad s. XVI) investigó las propiedades de las figuras geométricas sobre una superficie esférica, obteniendo importantes resultados en la resolución de triángulos esféricos. Precisamente, y como ya hemos comentado en el capítulo anterior, inventó los logaritmos para agilizar los cálculos de la trigonometría esférica.

-   En 1639 Descartes advirtió que los sólidos regulares cumplen que nº caras + nº vértices = nº aristas + 2. Euler lo demostró en 1751; relacionado con esta fórmula, resolvió el problema de los puentes de Köenigsberg: ¿era posible recorrer exactamente una vez los siete puentes de la ciudad?:

Demostró que era imposible. Estos problemas van a marcar el comienzo de la futura teoría de grafos. Euler es también responsable de la usual notación A, B, C y a, b, c para los ángulos y lados, respectivamente, de un triángulo.

-   El francés Monge (2ª mitad s. XVIII) funda la Geometría descriptiva, al fundir en un todo armónico los métodos –llamados proyecciones- que ya se conocían para representar sobre el plano las figuras sólidas.

-   Bessel (1ª mitad s. XIX) es el autor de las fórmulas análogas a las del teorema del seno y del coseno de la trigonometría plana para la trigonometría esférica, conocidas como “grupos Bessel”.

-   Posteriormente, en el siglo XIX, la Geometría evoluciona vertiginosamente de la mano del Álgebra, merced a la teoría de grupos. Ello lo veremos en el capítulo X.

 

NOTAS:

1 La mejor aproximación de π en la época griega fue , debida a Arquímedes, obtenida por exhaución de un polígono de 96 lados inscrito y circunscrito en una circunferencia. Posteriormente, en el siglo XVI, Van Ceulen conseguirá 35 decimales. En la actualidad, se pueden calcular más de cien mil decimales de π por medio de superordenadores.

 

 

 

III. ÁLGEBRA

-   Existen tablillas que evidencian, como ya hemos mencionado (capítulo I), que los babilonios ya resolvían ecuaciones de 1^er y 2^º grado, y sistemas de 2 ecuaciones y 2 incógnitas.

-   Los griegos, como ya hemos visto en el capítulo II, se concentraron básicamente en la Geometría (y la Lógica), y prestaron relativamente escasa atención al Álgebra. Por ejemplo, Euclides en sus Elementos resolvía las ecuaciones de 2º grado geométricamente. No obstante, Diofanto (s. III d. C.), de la escuela de Alejandría, es considerado el padre del Álgebra¹, ya que fue el iniciador del lenguaje algebraico, al asignar símbolos de su invención a las potencias y abreviaturas a la división, suma, resta, igualdad, etc. Su obra más importante es Arithmetica, que, sin embargo, trata sobre la teoría de números. Ahora bien, rechazaba las soluciones irracionales de las ecuaciones, e incluso las negativas.

-   Durante los siguientes mil años, en Europa no se avanza apenas nada en este campo. El testigo lo recogen los hindúes. Por ejemplo, el ya mencionado matemático y astrónomo Brahmagupta (siglo VII d.C.) logró resolver unas cuantas ecuaciones diofánticas y ecuaciones de 2º grado que, por primera vez, incluían soluciones negativas, referidas como “deudas”.

-   El término álgebra procede de la obra Kitab al-jabr wa almuqabalah (El libro condensado sobre restauración y balances), escrito en Bagdad por Al-Khwarizmi² (s. IX) (figura izda.), quien fue el primero en exponer de una forma sistemática las soluciones de la ecuación de 2^º grado. Incluso la palabra “algoritmo”, utilizada hoy en día para describir cualquier método especial para resolver un problema siguiendo una determinada sucesión de pasos, proviene de una distorsión  de su nombre. El primer libro que incluyó la solución completa de la ecuación general de 2º grado no apareció en Europa hasta el siglo XII; su autor fue el matemático judeo-español Abraham bar Hiyya Ha-nasi.

Abu’l-Wefa (s. X), astrónomo y matemático persa, formuló el teorema de los senos para triángulos esféricos, demostró las fórmulas trigonométricas del ángulo doble y el ángulo mitad, construyó tablas trigonométricas y utilizó en sus cálculos las seis funciones trigonométricas principales.

Omar Kayyam (s. XI-XII) resuelve hasta ecuaciones cúbicas, pues “el espacio no tiene más de tres dimensiones”, y no admitía las raíces negativas. Abenalbana (s. XIII-XIV), marroquí de familia oriunda de Granada, presenta la Aritmética elemental casi como la conocemos ahora. Al Kashi (s. XV), astrónomo de Samarkanda, es uno de los primeros en adoptar las fracciones decimales que hoy en día utilizamos, en sustitución de las sexagesimales.

Ahora bien, a pesar de su atracción por el Álgebra, vemos que los matemáticos árabes dejaron pendiente la resolución de la ecuación de 3^er y 4º grado.

-   Del mismo modo que los problemas relacionados con las áreas desembocan en ecuaciones de 2º grado, el cálculo de volúmenes como el del cubo conduce a la ecuación de 3^er grado. El hallar una fórmula para la solución de la ecuación general de 3^er grado supuso un reto para los matemáticos europeos hasta el siglo XVI, época en la que se convirtió en un desafío intelectual al margen de sus fines prácticos. El italiano Dal Ferro encontró en 1515 la solución de la ecuación ax³+bx=c, pero no la publicó, si bien se la comunicó a su yerno y a su pupilo Fiore, un mediocre y engreído matemático que desafió en 1535 al brillante Tartaglia a una competición matemática –en el siglo XVI eran muy afamadas y corrientes tales disputas intelectuales-. Éste último pudo vencer brillantemente porque había descubierto unos días antes la solución general de la misma ecuación que resolvió Dal Ferro, pero también de ax+b=x³ y de x³+ax²=b. Entonces entró en escena Cardano, eminente médico, amante del juego y matemático de vida azarosa,  que consiguió, bajo juramento de no revelarla, que el ingenuo Tartaglia le comunicara la fórmula –pero no la demostración-. En un primer momento Cardano no la publicó, a pesar de que su secretario, el no menos brillante Ferrari, le ayudó a dar con la demostración, e incluso a resolver la de 4º grado del tipo x⁴+ax²+c=bx. Pero cuando Cardano se enteró por medio del yerno de Dal Ferro de que éste último había descubierto la fórmula de Tartaglia veinte años antes que éste, se consideró liberado de su juramento, y la publicó en su Ars Magna (1545) (figura dcha.) –donde resuelve las ecuaciones de 3^er y 4º grado, considerando además soluciones negativas, irracionales, e incluso vislumbrando las imaginarias-, con el consiguiente enfado de Tartaglia, y una posterior, larga y agria disputa entre ambos.  

-   Es precisamente en el Renacimiento cuando se inicia el largo camino hacia la unificación del lenguaje matemático:

    El primero en utilizar notación simbólica fue el francés François Vieta (s. XVI), aunque no plenamente la actual: fue el introductor de ( ), [ ] y { }; también empleaba + y –, que ya se utilizaba desde el siglo anterior, pero escribía, por ejemplo, x quadratus en vez del actual x², y no admitía coeficientes ni soluciones negativas.

    El inglés Robert Recorde (s. XVI) inventó el = en 1557, que tardaría un siglo en imponerse.

    El trazo - para las fracciones también se popularizó en este siglo.

    El alemán Christoph Rudolff (1ª mitad s. XVI) usaba fracciones decimales, y el símbolo moderno √ para las raíces.

    El alemán Michel Stifel (1ª mitad s. XVI) popularizó los signos + y – en lugar de p (plus) y m (minus); escribía, por ejemplo, la 4ª potencia de x de la siguiente forma: xxxx

    El flamenco Stevin (s. XVI-XVII) popularizó las fracciones decimales.

    El inglés Thomas Harriot (s. XVI-XVII) utilizó por primera vez > y <, y el · para el producto.

    Su compatriota el clérigo William Oughtred (1ª mitad s. XVII) introdujo x para el producto.

    Descartes (s. XVII), por su parte, comenzó a escribir x² en vez de xx, al igual que x³, x^-1, x^3/2, etc. y popularizó el signo =

    Leibniz (s. XVII-XVIII) introdujo el símbolo ∫ para las integrales, así como dx, dy… para diferenciales; popularizó también · y : para productos y divisiones, y ~ para “semejante a”.

    Rolle, francés, (2ª mitad s. XVII) introdujo  

    Ahora bien, nuestro sistema notacional se debe más al suizo Euler (s. XVIII) (figura izda.) que a ningún otro: introdujo i para designar la unidad imaginaria, e para la base de los logaritmos neperianos, universalizó el símbolo π que ya había sido utilizado anteriormente, para sumatorios, f(x) para funciones, utilizó exponentes imaginarios, las notaciones abreviadas de las seis funciones trigonométricas como las utilizamos hoy, y para los números combinatorios.

    John Wallis (2ª mitad s. XVIII) introdujo el símbolo ∞ para designar el infinito.

    El francés Christian Kramp (1760-1826) introdujo la notación n! para el factorial de un número.

    Las notaciones que empleamos para las derivadas sucesivas y para la 1ª derivada las debemos a Lagrange (s. XVIII-XIX), así como para el operador que lleva su nombre.

-   En 1748 el inglés Maclaurin (1ª mitad s. XVIII) es el primero en publicar la regla para resolver sistemas de ecuaciones lineales que hoy conocemos como «Regla de Cramer», la cual aparece de nuevo dos años después en la obra de Gabriel Cramer (1ª mitad s. XVIII).

-   Gauss presenta su tesis doctoral en 1789, en la que demuestra lo que hoy conocemos como «Teorema Fundamental del Álgebra», que afirma que “Toda ecuación polinómica tiene exactamente tantas soluciones, reales o complejas, como indica su grado”. A partir de aquí, los progresos del Álgebra entroncan con el estudio de la teoría de grupos, como veremos en el capítulo X.

 

NOTAS:

1 Diofanto ha pasado a la posteridad más bien por las llamadas ecuaciones diofánticas, que vienen a ser ecuaciones con más de una incógnita. La más célebre se conoce como Teorema de Fermat, de la que hablaremos en el cap. IV.

2 Si bien su obra representa un retraso respecto a la de Diofanto –no representaba con símbolos, sino que escribía todo literal, y no interpretaba las soluciones negativas-, supondrá un punto de partida para el resurgir matemático en Europa –la mencionada obra fue traducida al latín en 1145-.

 

 

 

IV. LA TEORÍA DE NÚMEROS

-  Euclides (1ª mitad s. III a.C.), en el libro VII de sus Elementos, estudió los números primos y sus propiedades. Principalmente, probó el Teorema Fundamental de la Aritmética: «Todo número natural se puede descomponer de maneraúnica como producto de factoresprimos», y la existencia de infinitos números primos.

-  Aun admitiendo que son infinitos, desde el primer momento muchos matemáticos han estado obsesionados con laposibilidad de encontrar una sucesión o ley general que permitiera generar todos los números primos, pero hasta la fecha no se ha encontrado. ¿Existirá tal posibilidad? Hoy en día no se sabe...

- Diofanto (s. III d. C.) profundizó en la teoría de números, la cual permaneció estancada más de mil años, hasta que la retomó el enigmático matemático aficionado francés Fermat (mediados s. XVII). Se le considera el fundador de la moderna teoría de números –rama de las Matemáticas que estudia las propiedades de los números-. Fermat ofrecía a todo el mundo sus resultados, pero tenía la mala costumbre de no indicar cómo había llegado a ellos, por lo que nunca sabremos si disponía de las demostraciones. La mayoría de los teoremas que enunció pero no demostró fueron pulidos por Euler y Lagrange (s. XVIII), excepto el enigmático «Gran Teorema», que tras 350 años fue demostrado por el británico Andrew Wiles (figura izda.) en 1994.

Pequeño Teorema de Fermat: “Si p es un primo cualquiera y a es un número natural cualquiera, de manera que a y p no tienen factores comunes (es decir, son primos entre sí), entonces a^p-a es un múltiplo de p”    (Fue demostrado por inducción por Euler¹)

Gran (o Último) Teorema de Fermat: “xⁿ+yⁿ=zⁿ (llamada «Ecuación de Fermat») no tiene soluciones enteras para n≥3”

-   El francés Mersenne (1ª mitad s. XVII), sacerdote y amigo de Descartes, conjeturó en 1644 que los números de la forma 2^p-1, donde p puede sustituirse por los números primos 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 61, 89, 107, 127..., son primos. Estos primos de Mersenne² (hoy en día se conocen 47; puede consultarse toda la lista en primos de Mersenne) son generados actualmente por ordenador, y algunos son de gran número de cifras. El mayor de ellos hasta la fecha, el 47º, es 2^{43 112 609}-1, con 13 millones de cifras.

-   La «Conjetura de Goldbach» es un problema no resuelto hoy en día, formulada en 1742 por Christian Goldbach, matemático aficionado, a Euler, y reformulada por éste, aunque no pudo demostrarla: “Todo número par (mayor que 2) es suma de dos primos (pueden repetirse)” ; p.ej. 4=2+2, 6=3+3, 8=5+3, 10=5+5 o 3+7, etc. Hoy en día, por medio de ordenadores, se ha comprobado que es cierta hasta 10⁸, pero no ha podido ser demostrada hasta la fecha.

-   Investigando sobre cómo se distribuían los números primos, el alemán Gauss (1ª mitad s. XIX) definió la función π(x) que indica la cantidad de números primos < x, y construyó una tabla para ella. Es lógico que los números primos cada vez vayan escaseando más, pero sabemos que no puede llegar un momento en que no haya primos. Lo que Gauss descubrió es que, aproximadamente:

resultado conocido como «Teorema de los números primos». En realidad, para Gauss era una conjetura que no pudo demostrar y ni siquiera publicó. Fue demostrado cien años después, en 1896, de forma simultánea e independiente por Hadamard y Poussin.

-   También hará un gran avance Gauss en su juventud al introducir el concepto de números congruentes. Además, fue capaz, superando a Euclides, de construir un heptadecágono regular (polígono regular de 17 lados) con regla y compás. Gauss demostró que «un polígono regular de n lados es construible con regla y compás si y solo si la descomposición en factores primos de n contiene únicamente potencias de 2 y/o primos de Fermat distintos entre sí» (un primo de Fermat es de la forma , con n∈IN; actualmente³ se conocen 3, 5, 17, 257 y 65537); por ejemplo, es imposible construir un heptágono (7 lados) o un eneágono (9).

 

 

  NOTAS:

1 Por ejemplo, 3 es primo y no tiene factores comunes con 8. Por lo tanto, 8³-8=504 es múltiplo de 3. El calificativo "pequeño" fue utilizado por primera vez en 1913. Este teorema se suele utilizar para demostrar que un número muy grande no es primo, sin necesidad de factorizarlo. Veámoslo, no obstante, para un primo pequeño, por ejemplo p=9 y a=2; entonces, 2⁹-2=510 no es múltiplo de 9, lo cual implica que 9 no es primo.

2 En la lista de Mersenne en realidad estaba 2, 3, 5, 7, 13, 17, 19, 31, 67 y 257, es decir, sobraban los dos últimos, y faltaba alguno intermedio; aún así, tiene gran mérito el trabajo de Mersenne con los medios de cálculo de la época.

3 El 6º primo de Fermat (es decir, para n=5) resulta un número muy elevado, el cual se puede probar que no es primo. De momento se sabe que los 5 primeros números de Fermat son primos, lo que no quiere decir que no haya más, incluso que pueda haber infinitos.

 

 

V. CURVAS Y COORDENADAS

-   Pierre Fermat (mediados s. XVII) fue el primero en utilizar coordenadas, en su caso oblicuas, lo cual le ayudó a obtener ecuaciones de elipses, hipérbolas, etc. (También son famosas sus investigaciones sobre números, probabilidad y Óptica).

-   Descartes (1ª mitad s. XVII), en un extensísimo apéndice, denominado “Geometría”, de su famoso Discurso del método, introduce coordenadas perpendiculares, que le permiten reinterpretar la geometría del plano en términos algebraicos. Crea así la Geometría Analítica, que unifica la Geometría y el Álgebra, y que mediante el mencionado sistema de coordenadas convierte las formas geométricas en ecuaciones, y viceversa.

-   Fermat extendió las ideas de Descartes a tres dimensiones, estudiando elipsoides, paraboloides, etc.

-   Jakob Bernouilli introdujo las coordenadas polares en 1691. Vástago de una famosísima familia suiza dedicada a las Matemáticas como afición –la mayoría eran juristas, médicos, etc.- o como profesión, cuyo extenso árbol genealógico se muestra en la figura adjunta:  

 

VI. CÁLCULO INFINITESIMAL

-   La teoría geocéntrica de Ptolomeo (s. II d.C.) estaba en su Almagesto; en 1530 el monje polaco Copérnico desarrolló su teoría heliocéntrica, que ya había sido intuida por Aristarco de Samos dos milenios antes. Kepler (1^er tercio s. XVII), utilizando las observaciones de Tycho Brahe, desarrolló sus tres leyes del movimiento planetario. Galileo (1ª mitad s. XVII) perfeccionó el telescopio recién inventado y apoyó la teoría heliocéntrica. Curiosamente, a Kepler le obsesionó durante años el problema de hallar las dimensiones de la barrica de vino más económica –es decir, aquella que, para un volumen definido, empleaba menor material-, y ello le sirvió para estudiar el problema de calcular máximos y mínimos de funciones. Publicó, al respecto, Nueva estereometría de las barricas de vino.

-   Todos los avances anteriores están relacionados en la práctica con el desarrollo del cálculo infinitesimal, desarrollado a la vez y de manera independiente por Leibniz (fig. dcha.) y Newton (fig. izda.) hacia 1680. En efecto, ambos encontraron la importante relación entre el cálculo diferencial e integral. Aunque  Newton en esta disciplina llegó mucho más allá que Leibniz, éste inventó una notación superior a aquél: mientras Newton escribía la derivada como y´, Leibniz escribía dy/dx. Desgraciadamente, ambos mantuvieron en sus últimos años una disputa en torno a quien fue el primer descubridor del cálculo, que se hizo extensiva, tras su muerte, a sus discípulos. Actualmente, está claro que a Leibniz le corresponde la primacía de la publicación y a Newton la del descubrimiento.

-   Precisamente Leibniz ideó el símbolo "d" (mientras que la palabra integral fue ideada por Jacob Bernouilli). Leibniz también descubrió la serie que lleva su nombre (la cual proviene del desarrollo de arctg x):

Además, fue el primero en utilizar determinantes (aunque el suizo Cramer los reinventó en 1750), y los subíndices a₁₁, a₁₂,… para sistemasde ecuaciones.

-   El francés L’Hôpital, alumno de Jean Bernouilli, publicó en 1696 su famosa regla. Después de su muerte, Bernouilli se dedicó a acusarle de plagio.

-   El inglés Taylor empleó en 1715 su famosa fórmula del desarrollo de una función en series de potencias. El escocés Maclaurin llevó a cabo su método de desarrollo en serie, que es un caso especial del anterior.

-   El iniciador del estudio moderno de las funciones es Lagrange (figura dcha.), en 1797, con su obra «Teoría de las Funciones Analíticas».

 

 

 

 

VII.  LEYES FÍSICAS

-   Euler introdujo las ecuaciones en derivadas parciales en 1734. D’Alembert, en 1746, estudiando una cuerda vibrante, llegó a su famosa ecuación de ondas:

donde y=y(x,t) es la forma de la cuerda en el instante t, y a=cte. En 1799, Laplace expresó su célebre ecuación en derivadas parciales:

donde V(x,y,z) es el potencial en el punto (x,y,z). A comienzos del XIX Fourier llegó a su no menos famosa ecuación del calor en derivadas parciales, que para el caso de una dimensión (es decir, una varilla), toma la forma:

siendo T(x,t) la temperatura de la varilla en la posición x e instante t, y a=cte.

-   En relación con la dinámica de fluidos, investigaron sobre ecuaciones en derivadas parciales Navier, Poisson y Stokes, en la 1ª mitad del XIX

-   Utilizando “coordenadas generalizadas”, es decir, varias dimensiones relacionadas con los grados de libertad de un sólido, Lagrange (s. XVIII) reescribió las ecuaciones newtonianas del movimiento en términos de una nueva magnitud, llamada “lagrangiano”. El irlandés Hamilton (s. XIX), por su parte, mejoró estas ideas de acuerdo con una nueva magnitud, el “hamiltoniano”, que puede interpretarse en términos de energía. Por cierto, a éste último se debe el concepto de vector, si bien el francés Varignon (s. XVII-XVIII) e incluso antes el holandés Stevin (s. XVI-XVII) ya habían inventado el paralelogramo de fuerzas.

 

 

 

 

VIII. NÚMEROS COMPLEJOS

-   La unidad imaginaria fue intuida por los matemáticos renacentistas Cardano, Bombelli et al. (siglo XVI), al tratar de resolver ecuaciones del tipo x²+1=0, es decir, carentes de solución en el campo real. En el siglo XVII, a las Ö de números negativos se les denominaba “números imaginarios”.

-   En 1673 el inglés John Wallis fue el primero en idear el plano complejo, que fue redescubierto independientemente por el noruego Wessel en 1797 y por Gauss en 1811, quien también vio que las n raíces de la ecuación xⁿ-1=0 formaban un polígono regular de n lados. Precisamente Gauss utilizó el adjetivo de números complejos.

-   Cauchy (1ª mitad del s. XIX) desarrolla formalmente el análisis complejo, ya intuido por Gauss. El alemán Riemann (mediados s. XIX) también utilizó funciones complejas, es decir, funciones f(z) cuya variable z es un complejo.

-   La primera aplicación práctica de los números complejos se debe al americano Steinmetz (s. XIX-XX), para cálculos en corriente alterna, en concreto para la inductancia de una bobina y la capacitancia de un condensador.

 

 

 

 

IX. FUNDAMENTACIÓN DEL ANÁLISIS

-   Los hermanos Johann y Jacob Bernouilli (s. XVII-XVIII) estudiaron la serie armónica a finales del s. XVII:

demostrando que era divergente, es decir, su resultado se va al infinito (aunque lentamente...). Ahora bien, en el caso de la serie:

sólo pudieron probar que era convergente, pero todos sus esfuerzos para dar con su valor no dieron fruto, hasta que 30 años después el joven Euler probó brillantemente que:

-   Fourier (s. XVIII-XIX), en su estudio del calor, desarrolla cualquier función como una serie infinita de senos y cosenos.

-   El alemán Dirichlet (1ª mitad s. XIX), poniendo como ejemplo su famosa función:

discontinua en todo punto, introdujo la definición moderna de función.

-   El primero en intentar formalizar los distintos conceptos del cálculo fue Bolzano, sacerdote bohemio-alemán (1ª mitad s. XIX) (figura sup.), que definió el concepto de continuidad.

-   El alemán Weierstrass (2ª mitad s. XIX) definió el concepto de límite de una función de la manera precisa que conocemos hoy, investigó en series de potencias y definió:

Además, fue quien más esfuerzos hizo por poner orden en el concepto de convergencia de series. Por ejemplo, en la serie 1+x+x²+x³+x⁴+… cuya suma es fácil probar que es , Euler había hecho x=-1, llegando a un absurdo: 1-1+1-1+…=1/2. Weierstrass advirtió que la serie no converge a menos que -1<x<1. Junto con los también alemanes Heine, Cantor y Dedekind, investigó sobre la idea de función y la noción de número real.

-   El alemán Riemann (1826-1866) daba las condiciones para que una función acotada sea integrable, y desarrollaba su concepto de integral. El francés Lebesgue (1875-1941) reformuló en 1902 la teoría de la integración utilizando la noción de medida de su compatriota Borel (1871-1956).

-   En 1873 el francés Hermite (1822-1901) demostró que el número e era trascendente, es decir, que no es raíz de ninguna ecuación de coeficientes racionales. Lindemann, en 1822, hizo lo propio con π.

 

 

 

X. TEORÍA DE GRUPOS

-   Recordemos que (capítulo III) al finalizar el siglo XVIII sólo se contaba con fórmulas para resolver algebraicamente las ecuaciones hasta grado 4 inclusive. Durante casi tres siglos se había estado buscando infructuosamente una fórmula para resolver, por ejemplo, la ecuación general de 5º grado. El italiano Paolo Ruffini prácticamente demostró en 1799 que era imposible la solución algebraica de ecuaciones de grado 5 o superior. El noruego Abel (1802-1829) completó las lagunas. Él, y posteriormente Galois, se basaron en un trabajo de 1770 de Lagrange en el que estudiaba la resolubilidad de ecuaciones en términos de las permutaciones de sus raíces.

-   Los matemáticos en esta época comenzaron a vislumbrar que, allí donde existía simetría, había lo que se dio en llamar un grupo¹. En efecto, la teoría de grupos, que tantos frutos iba a dar en el futuro, surgió de forma casual, a partir de la búsqueda de la hipotética solución de la ecuación de 5º grado por el joven francés Evariste Galois (1811-1832) (figura izda.). Este joven  matemático –murió a los 21 años en un estúpido duelo con pistolas, antes de poder desarrollar completamente sus ideas- llegó al mismo resultado que Abel, pero inventando de la nada una nueva rama de las Matemáticas, en un golpe de genialidad creativa (similar al caso de Newton con su Ley de la Gravedad, o de Einstein con la Teoría de la Relatividad General): la teoría de grupos, que nació del estudio de las permutaciones. Posteriormente, esta teoría fue desarrollada por su compatriota Camille Jordan y por el inglés Cayley (1821-1895) a finales del XIX.

-   Las ideas de Galois conducirán, a través de la obra de los alemanes Ernst Kummer (1810-1893), L. Kronecker (1823-1891) y J.W. Dedekind (1881-1916), hacia el estudio de las estructuras algebraicas abstractas, pues los tres investigaron en la teoría de cuerpos² y en la noción de ideal de un anillo³.

-   El alemán Félix Klein (1849-1925) y el noruego Sophus Lie (1842-1899) investigaron sobre teoría de grupos y su relación con la Geometría, siendo responsables del revolucionario reconocimiento de que la Geometría, la simetría y la teoría de grupos están unidas, y que, en muchos aspectos, la Geometría es teoría de grupos. En efecto, en la 2ª mitad del s. XIX emerge un  nuevo tipo de Álgebra en la que los objetos de estudio no son números sino nuevas estructuras: grupos de Lie, anillos, campos, álgebras (por ejemplo, de Lie)…

-   En esta época se supera la geometría euclidiana, es decir, la geometría del espacio plano (figura izquierda), en la que las paralelas nunca se encuentran y los ángulos de cualquier triángulo siempre suman 180º:

 

Son de reseñar los intentos por buscar alternativas a la geometría de Euclides, ya que siempre se pensó que el famoso 5ª postulado (el de las paralelas) podría ser más bien un teorema deducible de los otros axiomas⁴ (hoy día sabemos que esto no es posible⁵). Estos axiomas son:

1. Dos puntos determinan una única recta.

2. Todo segmento de recta puede prolongarse en cualquier dirección.

3. Es posible construir un círculo dados su centro y su radio.

4. Todos los ángulos rectos son iguales.

5. Dada una recta y un punto exterior a ella, hay una única recta que es paralela a la recta dada y que pasa por el punto.

En el siglo XIX se construyeron, prescindiendo del 5º postulado, geometrías coherentes. Por ejemplo, en una superficie con forma de silla de montar (figura derecha), la suma de los triángulos siempre es⁶ menor que 180º; se trata de la geometría hiperbólica, ideada por el húngaro Bolyai, Gauss y el ruso Lobachevsky separadamente en la década de los 20 del siglo XIX. Finalmente, el alemán Riemann desarrolló en 1854 la geometría elíptica; como caso particular de ella, en una esfera (figura central), la suma de los ángulos de un triángulo excede los 180º.

-   Una nueva teoría nace a finales del XIX, y se trata de la geometría de las formas que pueden ser deformadas y qué propiedades o aspectos cualitativos (conectividad, agujeros, nudos…) podrían ser invariantes ante transformaciones topológicas. Fue desarrollada por Möbius, Riemann, Klein, Poincaré (autor de la famosa conjetura, hoy superada), etc. y tiene hoy en día aplicación práctica, por ejemplo en el estudio de la molécula de ADN.

-   A primera vista, estas geometrías no euclidianas parecían invenciones ingeniosas pero estériles. Sin embargo, las ecuaciones de Einstein que a principios del siglo XX describían la curvatura del espacio-tiempo exigieron inesperadamente esta clase de geometrías. En efecto, la geometría no euclídea de Riemann y el cálculo tensorial sirvieron a Einstein para formular el espacio-tiempo dentro de su Teoría de la Relatividad General (1915).

 

 

NOTAS:

1 Un grupo es una estructura matemática formada por un conjunto de elementos y una operación –llamada ley de composición interna-, la cual verifica tres determinadas propiedades, que enunciaremos a continuación. Por ejemplo, el conjunto de los números enteros, Z, con la suma, es decir {Z,+}, forman un grupo, porque verifican:

La ley de composición es interna: si a y b pertenecen a Z, entonces a + b ∈ Z. Esta ley verifica:

1º) Propiedad asociativa: si a, b y c pertenecen a Z, entonces (a + b) + c = a + (b + c)

2º) Existencia de elemento neutro: Todo elemento a perteneciente a Z tiene su elemento neutro, de forma que a + 0 = a

3º) Existencia de elemento opuesto: Todo elemento a perteneciente a Z tiene su elemento opuesto -a, tal que a + (-a) = 0

Si además verifica la propiedad conmutativa, se llama grupo abeliano.

2 Un cuerpo es un conjunto dotado de unas operaciones de adición y multiplicación que verifican:

1º) Dicho conjunto es un grupo abeliano respecto a la adición.

2º) Dicho conjunto (excluido el 0 o elemento neutro de la adición) es un grupo respecto a la multiplicación.

3º) La multiplicación es distributiva respecto de la adición por ambos lados.

3 Un anillo es todo conjunto provisto de una estructura algebraica definida por dos leyes de composición interna:

1º) Un grupo conmutativo, respecto a la adición.

2º) Designada multiplicativamente, es asociativa y distributiva respecto a la 1ª.

Por ejemplo, con la adición y la multiplicación, Z, Q, IR y C son anillos.

⁴ Axioma o postulado es una proposición evidente por sí misma, es decir, que no necesita demostración.

⁵ Sí es cierto que este axioma es equivalente a decir que en un triángulo plano la suma de sus ángulos es 180º.

⁶  O bien, que por un punto exterior a una recta se puede trazar más de una paralela.

 

 

 

XI. GEOMETRÍA MULTIDIMENSIONAL

-   En 1837 el irlandés Hamilton inventa los cuaterniones: objetos de 4 dimensiones –p. ej. 1+2i-3j+k-, sin utilidad real.

-   Hacia finales del XIX el norteamericano Gibbs (1839-1903) y el inglés Heaviside (1850-1925) separadamente formalizan el concepto de vector de 3 dimensiones, (x,y,z).

-   Gauss había obtenido una fórmula que representaba la curvatura de una superficie intrínsecamente. Riemann generalizó esto a n dimensiones, estableciendo la llamada geometría diferencial.

-   El inglés Cailey (2ª mitad s. XIX) introdujo en 1855 el álgebra de matrices para tratar n-tuplas, utilizando como herramienta los determinantes. Muy pronto, la extensión del concepto de vector va a originar la noción de tensor.

-   En 1908 el ruso Minkowski (1864-1909) concibió un espacio tetradimensional en el que la 4ª dimensión estaba relacionada con el tiempo. Posteriormente, la relatividad general de Einstein incorpora (como ya vimos en el capítulo anterior) el papel de la gravedad, que produce una curvatura en el espacio-tiempo. Los físicos que actualmente trabajan en las supercuerdas piensan que nuestro universo realmente puede tener 10 dimensiones.

 

 

 

 

XII. FUNDAMENTACIÓN LÓGICA DE LAS MATEMÁTICAS

-   El alemán Dedekind (2ª mitad s. XIX) formalizó en 1888 la existencia de los números reales, IR, en términos de las llamadas «Cortaduras de Dedekind», es decir, en términos de los números racionales, Q.

-   En 1889 el italiano Giuseppe Peano (1858-1932) formalizó la existencia de los números naturales, IN, por medio de sus famosos axiomas. Por la misma época, el alemán Gottlob Frege (1848-1925) hizo lo propio mediante clases de equivalencia. Peano dio además en 1888 la definición de espacio vectorial sobre el cuerpo de los números reales, lo cual fue generalizado posteriormente por el alemán David Hilbert (1862-1943) y el polaco Banach (1892-1942).

-   Cantor, a partir de 1872, fue el primero en pensar en conjuntos; definió   (Aleph-cero) como el cardinal¹ de IN (que también lo es de los pares o de los impares o de Z o incluso de Q; también probó que IR no tiene cardinal  .

-   El lógico inglés John Venn (1834-1923) utilizó los llamados “Diagramas de Venn” para justificar las propiedades de la teoría de conjuntos. La primera axiomatización de la teoría de conjuntos se debe al alemán Zermelo (1871-1953).  

-   El alemán David Hilbert (figura dcha.) creía que todo enunciado matemático podía ser demostrado o refutado. El americano de origen austriaco Kurt Gödel (1906-1978) echó por tierra esta afirmación en 1931, demostrando con sus teoremas de incompletitud que «en un sistema formulado estrictamente lógico hay siempre proposiciones indecidibles –es decir, no podemos afirmar su certeza o falsedad- a partir de los axiomas del sistema», esto es, que existen dentro del sistema afirmaciones bien definidas, que no pueden ser ni demostradas ni refutadas a partir de los axiomas.

 

NOTAS:

1 El cardinal de un conjunto finito es el número de elementos de dicho conjunto.

 

 

 

XIII. EL AZAR

-   El cálculo de probabilidades surgió de las preguntas de los jugadores que a menudo necesitaban conocer las distintas posibilidades de ganar en las cartas y los dados¹. No en vano, el Libro de los juegos de azar de Cardano (siglo XVI) es la primera obra sobre cálculo de probabilidades. Su autor, entre otras muchas facetas, era muy aficionado a los juegos de apostar.

-   El triángulo de Pascal (figura dcha.), ya era conocido antes que el propio Pascal, incluso por los matemáticos indios y persas medievales. De hecho, también se llama triángulo de Tartaglia. Pascal fue, no obstante, el primero en observar la relación entre los números combinatorios  y los coeficientes de la fórmula del desarrollo de un binomio. Pascal y Fermat inician además el Análisis Combinatorio, es decir, el estudio de las variaciones, permutaciones y combinaciones. De la combinatoria también se ocupó Leibniz en su «Disertatio de Arte Combinatoria» (1666), en la que también trata la lógica formal simbólica.

-   En los estudios de Pascal y Fermat se inspiró el holandés Christian Huygens para publicar en 1657 su tratado «Sobre los razonamientos relativos a los juegos de dados»

-   El primer libro riguroso sobre probabilidad era el Ars Coniectandi (Arte de conjeturar) de Jakob Bernouilli, de 1713. En él recogía la ley de los grandes números y la probabilidad de un experimento binomial mediante la llamada distribución binomial o de Bernouilli. Fue también el primero en demostrar la fórmula de la potencia de un binomio, (a+b)ⁿ, por inducción completa.

-   El inglés de origen francés Abraham De Moivre (1667-1754) publicó en 1718 su teoría de permutaciones y combinaciones, exponiendo varios problemas referentes a la extracción de bolas de diversos colores. Además, fue el primero en vislumbrar, en fecha tan temprana como 1738, una distribución normal.

-   El inglés Thomas Bayes (1702-1761) enunció el famoso teorema que lleva su nombre.

-   Entre finales del XVIII y principios del XIX aparece el método de los mínimos cuadrados, dado a conocer por el francés Legendre (1752-1833). Sin embargo, a quien suele considerarse como fundador de este método es al alemán Gauss, que lo ideó independientemente, cuando sólo tenía 18 años.

-   En 1812 Laplace sistematizó la teoría de probabilidades. En 1837 el francés Poisson (1ª mitad s. XIX) estudia la distribución que hoy lleva su nombre, o “de los sucesos raros”, como un caso límite de la distribución binomial de Bernouilli. También es un caso límite de la binomial la distribución normal (figura izda.), llamada de Gauss-Laplace, pues ambos llegaron a ella al estudiar la teoría de errores, ya que los errores observacionales se distribuyen en Astronomía de acuerdo a esa curva. En 1835, el belga Adolphe Quetelet (1796-1874) fue el primero en defender la utilización de esta curva de campana también para datos sociales: nacimientos, muertes, etc.

-   El inglés Galton (1822-1911) estudió la regresión lineal. Su compatriota K. Pearson  (1856-1936) continuó su labor y popularizó hacia 1900 el criterio de la chi-cuadrado. También a principios del siglo XX descubre Gosset, que publicó sus trabajos con el seudónimo de Student, la distribución que hoy conocemos como «Distribución t» de Student. Así es como da comienzo la teoría exacta de muestreo.

-   En los años 30 del pasado siglo el ruso Andrei Kolmogorov axiomatizó el concepto de probabilidad.

 

NOTAS:

1 Por cierto, aleatorio viene del latín aleae, suerte.

 

 

 

XIV. COMPUTADORAS

-  El escocés Neper (2ª mitad s. XVI) inventó una especie de ábaco o dispositivo, antecesor de la regla de cálculo, que realizaba sumas, multiplicaciones y productos.

-   En 1642, Pascal inventó la primera calculadora mecánica, la cual realizaba sumas y restas, pero no multiplicaciones ni divisiones; en 1694, Leibniz construyó otra similar.

-   Charles Babbage diseñó a principios del s. XIX un prototipo; Augusta Ada King, condesa de Lovelace, le ayudó a desarrollar los primeros algoritmos.

-   La primera calculadora producida en masa, el «arithmometer», fue fabricada por Thomas de Colmar en 1820.

-   El irlandés George Boole (1815-1864) publica en 1854 el álgebra proposicional que lleva su nombre. El inglés Morgan (1806-1877) y el americano Peirce encontraron, independientemente, las leyes que hoy conocemos con el nombre del primero.

-   El americano Von Neumann, de origen húngaro (1903-1957), definió la lógica de las computadoras y desarrolló una teoría de juegos.

 

 

 

 

XV. ÚLTIMAS TENDENCIAS

-   La historia de la geometría fractal la podemos remontar al período que va de 1875 a 1925, cuando matemáticos como Cantor, Peano, Hilbert, Sierpinski y el sueco Koch crearon las primeras figuras que hoy denominamos fractales.

-   Un ejemplo de este tipo es la curva creada en 1904 por Koch y que se denomina “curva de Koch” o “cristal de nieve”, la cual no solo no es diferenciable en ninguno de sus puntos, sino también cumple que la longitud del arco, entre dos puntos cualesquiera es infinita. Las sucesivas iteraciones para obtenerla se muestran a continuación:

 

 

-   Estas y otras figuras surgieron, unas veces como contraejemplos a los formalistas, y otras como juegos del espíritu sin interés de ningúntipo. Estas figuras fractales tenían dos características en común: la homotecia interna y la dimensión no entera.

-   En los años 60 del siglo pasado Benoit Mandelbrot inició, a partir de estas curvas “monstruosas”desarrolladas décadas antes, una nueva geometría que él llamó fractal: curvas que llenan toda una región del espacio, curvas de longitud infinita que encierran un área finita, etc.Véase en la figura adjunta el conjunto de Mandelbrot. Estas figuras fractales contienen infinitas copias de sí mismas, pero no son simétricas en el sentido que estamos acostumbrados a considerar. Posteriormente, se ha comprobado que estas características son propiedad de muchos fenómenos naturales que ocurren en cascada, como la fisión nuclear o el crecimiento de determinadas especies.

-   En los años 70 y 80 de dicha centuria alcanzó importancia la "Teoría del Caos", nombre que dieron los medios a la dinámica no lineal, donde causas pequeñas pueden tener efectos enormes (vulgarmente conocido como “efecto mariposa”); por ejemplo, se aplica en meteorología.

 

 

Fuentes:   «Historia de las Matemáticas». Stewart, Ian. Ed. Crítica

«Breve Historia de las Matemáticas (2 tomos)». Collerus, Egmont. Ed. Doncel

«Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos». Kline, Morris. Alianza Editorial, 1992

«La ecuación jamás resuelta». Livio, Mario. Ed. Ariel, 2007

«Historia de la Matemática». Argüelles Rodríguez, Juan Antonio. Ed. Akal, 1989

«Los objetos fractales». Mandelbrot, Benoit. Ed. Tusquets, 2006

«Los números primos». Gracián, Enrique. Ed. RBA, 2010

http://es.wikipedia.org